对量子态叠加原理的理解

[摘要]量子态的叠加性与经典波（如声波）的叠加性在加减形式上完全相同，但实质完全不同。对量子体系的测量表明，量子态有非空和准空之分，在单量子体系的叠加态中至多有一个成分是非空的，而经典波中所有成分都同等实在。量子态叠加原理难以理解，并易于误解，例如波函数坍缩假设、量子态不可克隆定理和隔空传物理论都出于对这原理的误解，在科学研究和教学中务必保持警惕。

量子态叠加原理深刻反映量子力学与经典力学的根本差别。1930年出版的狄拉克的《量子力学原理》的第一章的标题就是“叠加原理”。他说：“最基本最厉害的那些[大自然正确规律]之一是态的叠加原理。”并写道：“他也许认为，已经引进了一个很奇怪的思想--一个光子是部分处于两个偏振态的各个之中，或处于两个分离光束的各个之中--然而，甚至凭借这个奇怪思想也得不到任何基本的单光子过程的满意图象。他可能进一步说，这个思想不提供有关实验的结果的任何信息，除了能得到波以某种模糊方式引导光子的初等考虑之外。”对这两个批评，狄拉克的回答是：“在原子现象的情形中，不能期望任何图象存在于图象这个词的平常意义之中，图象意味着主要在经典路线上起作用的模型。”“对于许多用光的简单实验，波和光子以模糊的统计方式关联的初等理论足以说明那些[实验]结果。”他说：“它[叠加原理]要求我们假设这些态之间存在奇特的关系，即当这体系确定地处在一个态中时，我们可以认为它部分处在两个或更多的其它态的各个中。原来的态必须看作是这两个或更多新态的叠加结果，其方式不能按经典思想设想。”狄拉克以单光子干涉为例说明如何克服观念上的困难。他说：“如果现在使那两个成分发生干涉，则我们会要求在一个成分中的光子能够与另一个成分中的光子发生干涉。有时这两个光子必定互相淹没，有时必定产生四个光子。这与能量守恒矛盾。对单光子把波函数与几率联系起来的新理论能够克服使各光子部分进入这两个成分的各个之中的困难。因此各光子只能与它自己干涉，不同光子间的干涉决不会发生。”最后一句话成了经常被引用的名言，不过这个论断不够确切，需要修正，因为实验证明独立激光器发射的光子之间能够发生干涉。

朗道和栗弗席兹在书《量子力学(非相对论理论)》中，一开始就讲不确定原理，接着讲叠加原理。我们这里用希腊字表示希腊字母，用符号“_”表示下标。他们写道：“假定，在用波函数Psi_1(q)表示的态中，某个测量确定地导致一定的结果（结果1），而在用Psi_2(q)表示的态中，它导致结果2。然后假设，Psi_1和Psi_2的各种线性联合，即形式c_1·Psi_1+c_2·Psi_2的各个函数（这里c_1和c_2是常数），给出一个态，这态中那个测量，要么导致结果1，要么导致结果2。而且我们可以断言，如果知道这些态的时间依赖，对一种情形，它由函数Psi_1(q,t)给出，对另一种情形，由Psi_1(q,t)给出，则任何线性联合也给出一个态的对时间的可能依赖关系。这些命题可以立即推广到任意数目的不同态。上面这组对波函数的断言构成所谓态叠加原理，一个量子力学最重要的实证原理。特别是，从这个原理立即得出，波函数满足的一切方程必定对Psi是线性的。”

如何理解叠加原理是个问题。我们知道两个独立的无线广播电台发射的电磁波是会发生干涉的，也有实验证明，两个独立激光器发射的光波会发生干涉。因此狄拉克的那个著名论断受到质疑。这个质疑关系到对叠加原理的理解，甚至牵动量子力学的基础。一个量子体系，像单个光子，它的态之间的关系的确微妙而复杂，叠加原理给予一个简单的表达。这里我们以45度的斜向偏振的光波为例来看叠加成分之间的关系。它可以表示为垂直分量|v>和水平分量|h>的叠加，即

|45>=0.707(|v>+|h>)

|45>=0.707[●(|v>)+○(|h>)]

|45>=0.707[○(|v>)+●(|h>)]

空波观念最早见于德布罗意的著作，是量子力学导波诠释的推论，空波观念也是量子力学潜波诠释的推论。潜波诠释的初包模型说明普通的波（德布罗意波和单色光波）是它的特征分量，在波幅分割或波前分割的诸片段中或斩成的波列中，在同一时刻至多一个片段包含初包的峰，其余都是准空的。例如在单光子杨氏双缝干涉实验装置中，贴近左缝观察到一个光子时，进入右缝的另一波片段必定是准空的，反之亦然。对于单个体系的次级波包，其频谱分量中在同一时刻至多一个分量是非空的。鉴于独立激光器发射的光子之间能够发生干涉的事实，因此应把狄拉克的那个著名论断改为：各光子只能与它自己的不含峰片或其它光子的不含峰片干涉，不同光子的峰之间的干涉决不会发生。

对于二光子的纠缠态，例态|E>=0.707(|vv>+|hh>)，这里二光子的四个态中必有两个是准空的，因此它分出两种情形：

|E>=0.707[●(|vv>)+○(|hh>)]

|E>=0.707[○(|vv>)+●(|hh>)]

对于多个光子的系综，在统计学上，不区分非空态和准空态与波函数的统计解释一致。但是，这种统计解释对单个量子体系就出现矛盾，以致海森伯和冯·诺伊曼引进波函数的坍缩假设来协调。

1929年海森伯在芝加哥大学授课时讲到：“我们想象一个光子，它由麦克麦克斯韦波组成的波包表示。因此它有一定的空间扩展，还有一定的频率范围。经半透镜反射，可以把它分成两部分，反射波包和透射波包。因而有一定的几率发现这个光子在被分割波包的某个部分或另一个部分中。在过了足够长时间之后，这两部分会离开任何想望之距离；现在如果实验获得这光子位于波包的反射部分的结果，那么在波包的另一部分找到这光子的几率立刻变为零。因此在反射波包位置的实验会对透射波包占据的远距离的点施加一种作用（波包坍缩），我们看到这作用以大于光速传播。”波函数坍塌的理论出自冯·诺依曼，1932年他“遵照玻恩的放弃因果性原理的量子力学统计诠释”提出量子测量的数学表示。认为，对体系某个力学量的测量将引起体系的态矢跳向该量本征矢组上的一个投影部分，发生的变化是不连续的，非因果的，瞬间的，而且这种变化在热力学上是不可逆的。1960年海森伯明确表示：“导致态坍缩的记录作用不是物理过程，宁可说是数学过程。随着我们的知识的突然改变，我们知识的数学表示当然也经历突然的改变。”上述波函数坍塌假设引起一系列的问题：波函数何时、何地、如何坍缩？坍缩是不是物理过程？坍缩是否由观察者的知觉引起？坍缩是否真的发生？

其实波函数坍缩假设是多余的，也是错误的，因为它根本不会坍缩。为说明这一点，我们设想半透镜是格子型的，金属格架上完全反射光，空隙处透光，做成透反几率各占一半。按量子力学潜波诠释的初包模型，如果一个初包的峰在格架上反射，则峰外部分的一半在整个格架上反射，另一半透射。或者，初包的峰透过一个空隙，则峰外部分的一半透过全部空隙，另一半在整个格架上反射。初包的含峰片和不含峰片相遇时会发生干涉，如在马赫－曾德干涉仪中看到的。与海森伯所设想的情况不同，在这里，在测量发现那个粒子时不存在波函数坍缩，也不存在惠勒的前果后因的延迟选择效应。海森伯想象一个光子“由麦克斯韦波组成的波包表示”是混淆了光子实体和电磁波包。在单光子实验中我们知道，微弱光的电磁波包甚至可能是（准）空的。

量子态叠加原理易于被误解和误用，冯·诺依曼的波函数坍缩理论就是出于对它的误解。依据波函数坍缩假设，通过半透半反镜和符合计数去纠缠光子是误用的例子，这种线性光学器件连同光电测量，根本无纠缠光子的功能。

“量子态不可克隆定理”是误用造成的又一例。1916年爱因斯坦的量子辐射理论证明辐射放大的可能性，按他的理论，上世纪中期发明了微波激射器和激光器。我们很清楚，各向同性的受激发射媒质，其光子增益不依赖偏振方向，故只要准备充分条件，对未知的任意方向偏振的光子原则上都能拷贝。何谓拷贝成功？例如有N个光子入射进受激发射媒质，如果媒质的增益足够大，个个光子至少倍增，无一漏拷贝，我们就认为拷贝完全成功。

现在我们用量子态叠加原理来分析光子的拷贝的情况。令☆为拷贝算符，例如，对45度的偏振态的拷贝形式上可以写为

☆|45>＝☆0.707(|v>+|h>)＝0.5(|v>+|h>)(|v>+|h>)=0.5(|vv>+2|vh>+|hh>)

这里

☆0.707(|v>+|h>) 不等于 ☆0.707|v>＋☆0.707|h>＝0.5(|vv>+|hh>)

表示拷贝算符不是一种线性算符。我们将证明这种非线性与叠加原理并不冲突。当区分非空态和准空态时，对光子的45度偏振态的拷贝可能有三种结果：

(1) ☆|45>=0.5[●(|v>)+○(|h>)][●(|v>)+○(|h>)]
=0.5[●(|v>)●(|v>)+2●(|v>)○(|h>)+○(|h>)○(|h>)]

(2) ☆|45>=0.5[○(|v>)+●(|h>)][○(|v>)+●(|h>)]
=0.5[○(|v>)○(|v>)+2○(|v>)●(|h>)+●(|h>)●(|h>)]

(3) ☆|45>·2=0.5[●(|v>)+○(|h>)][○(|v>)+●(|h>)]
＋0.5[○(|v>)+●(|h>)][●(|v>)+○(|h>)]
=●(|v>)○(|v>)+●(|v>)●(|h>)+○(|v>)○(|h>)+○(|h>)●(|h>)

这些式子中包含着：

●(|v>)●(|v>)＝●(|vv>) （在偏振分束器后的一条光路上出现两个|v>态光子）

●(|h>)●(|h>)＝●(|hh>) （在偏振分束器后的另一条光路上出现两个|h>态光子）

●(|v>)●(|h>)＝●(|vh>) （在偏振分束器后的两光路上各出现一个光子）

其余的项都出于包含准空态的拷贝。可见，上述情况，在统计意义上，完全与前面式子表示的拷贝结果(|vv>+2|vh>+|hh>)一致，表示与叠加原理没有冲突。

然而，对任意态(a|v>＋b|h>)，沃特斯和祖瑞克不顾拷贝本来就不是一种线性操作，认为按量子态叠加原理（用乘法分配律），拷贝的结果应该是

☆(a|v>+b|h>)＝☆a|v>+☆b|h>=aa|vv>+bb|hh>

这与结果(aa|vv>+2ab|hv>+aa|vv>)矛盾，也与线性激光媒质中不产生纠缠态光子的事实矛盾，除非a或b等于0[或者a和b都等于0]，从而他们做出结论，除水平和垂直偏振的之外，对任意偏振的单光子克隆是不可能的。他们的结论其实是自相矛盾的，因为，单从旋转对称性考虑，各向同性的光放大媒质如果能克隆水平偏振的光子，那么偏振旋转任意角度照样能克隆，反之，如果任意态不能克隆，转到水平方向也不例外。要不自相矛盾的话，只有一种选择，取a和b都等于0的情形，这样一来，结论只能是，光的放大不可能。这显然与事实不符，原来拷贝操作不是线性的。我们注意到，所谓万无一失的量子加密是依据靠不住的“未知量子态不可克隆定理”，这个定理已导致花大量财力人力去搞所谓牢不可破的通信加密工程。

叠加原理被误解和误用的另一个例子是隔空传物(teleportation,中译量子隐形传态)理论，理论的第一作者贝内特向《科学》杂志记者称这像伏都(voodoo,通灵术)。现在把他们的理论推导步骤编写成隔空传送孙悟空的故事，看那里是如何混淆空实，颠倒远近的。

北京要派孙悟空立刻去深圳任动物园园长，巧遇特大台风和洪水，一切交通中断。幸好两地都有隔空传物专家和双胞胎猴子，这对猴子，一只在北京，一只在深圳，各持有对方的“全息”，他们是互相纠缠的。现在北京的隔空传物专家按程序首先要做的是，把老孙-猴子联合体按特定方式拆分，用数学语言，即把描述老孙的态矢量与这对猴子的纠缠态张量的“张量乘积”投影到描述四只八卦炉的各个态张量上。四只炉子是另外四对双胞胎猴子的化身，代表老孙与猴子的四种不同基本纠缠方式，专干对老孙进行脱胎换骨的勾当。贝内特等人的理论指出，在2号炉上的投影正好是同胞的“全息”，而在1号上的变了，右侧各器官都扭转了180度，在4号上左右反了，而在3号上的，不仅左右反了，右侧各器官还都扭转了180度。这时深圳的猴子当园长要等老孙在北京被销毁，因为拷贝是“被禁止”的。按理论，他进哪一只炉子是随机的，几率各占四分之一。这回老孙随机闯进的是2号炉，专家笃信他包含的全部信息刚好原样转移到深圳那只猴子身上了。一当用手机告知是2号，深圳猴子就被“核实”成了新任园长孙悟空。如果不是2号，也很简单，只要按告知的炉号，用相应的“线性变换”做一下修复就行。听起来像煞有介事，然而悟空觉得很好笑，非常聪明的专家们玩的竟是一套自欺欺人的把戏。

1997年《自然》杂志报道，量子隐形传态已经在实验室里实现，被称为里程碑式的成就，十余年来，在这方面“重大突破性成果”不少，包括今年又见里程碑式的“成果”。依作者之见，隔空传物(Teleportation)理论是巫术性谬论，那些惊人的实验成果都是凑造，经得起考究的实事无一项可言，不用说信息“您好”都隐形传送不了，还谈什么别的。“量子隐形传态可用于大容量、原则上不可破译（万无一失）的保密通信，也是量子计算的基础”这类观点着实把信息科学技术引向歧途。

不是所有量子力学书籍都讲量子态叠加原理，席夫的名著《量子力学》中就不提它。作为原理来提，优点是强调它的普适性，但可能出现自以为是的误用，这就要格外小心了。误解的问题更大，有教科书中写道：“量子态叠加原理是波的叠加性与波函数完全描述一个体系的量子态两个概念的概括。”还说：“量子态叠加原理实质上已隐含了量子态的非定域性。”要说量子态“完全”描述一个体系和叠加原理隐含“非定域性”，问题就大了。在量子力学问世以后，玻尔认定量子力学描述的完备性，但从未表示过支持非定域性，爱因斯坦是认定定域性来否定完备性的。真实情况推测是，一对编号1与2的粒子，经纠缠再分离时，因纠缠时粒子1(2)的含峰片与2(1)的不含峰片的融合，粒子应重新编号为S1和S2，粒子S1和粒子S2间不存在任何隔空联动关系（鬼魅超距作用、传心术式的影响），即不存在非定域性。标准量子力学不描述这种重新编号，既然再分离后还继承原来的编号1与2，那么1与2之间也就在形式上保持着那种融合的定域关联性，因此量子态叠加原理并不隐含量子态的非定域性。

总之，量子态的叠加性与经典波（如声波）的叠加性在加减形式上完全相同，但实质完全不同。对量子体系的测量表明，量子态有非空和准空之分，在单量子体系的叠加态中至多有一个成分是非空的，而经典波中所有成分都同等实在。量子态叠加原理难以理解，并易于误解，例如波函数坍缩假设、量子态不可克隆定理和隔空传物理论都出于对这原理的误解，在科学研究和教学中务必保持警惕。

（王国文，北京大学物理学院，2009年12月15日）